已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,且60°<<120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°—.(1)用含的代数式
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已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,且60°<<120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°—.(1)用含的代数式
题型:不详
难度:
来源:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=
,且60°<
<120°.P为△ABC内部一点,且PC=AC,∠PCA=120°—
.
(1)用含
的代数式表示∠APC,得∠APC =_______________________;
(2)求证:∠BAP=∠PCB;
(3)求∠PBC的度数.
答案
(1)∠APC
.
(2)证明:∵CA=CP,
∴∠1=∠2=
.
∴∠3=∠BAC-∠1=
=
.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=
=
.
∴∠4=∠ACB-∠5=
=
.
∴∠3=∠4.
即∠BAP=∠PCB.
(3)解法一:在CB上截取CM使CM=AP,连接PM(如图6).
∵PC=AC,AB=AC,
∴PC=AB.
在△ABP和△CPM中,
AB=CP,
∠3=∠4,
AP=CM,
∴△ABP≌△CPM.
∴∠6=∠7, BP=PM.
∴∠8=∠9.
∵∠6=∠ABC-∠8,∠7=∠9-∠4,
∴∠ABC-∠8=∠9-∠4.
即(
)-∠8=∠9-(
).
∴ ∠8+∠9=
.
∴2∠8=
.
∴∠8=
.
即∠PBC=
.
解法二:作点P关于BC的对称点N,
连接PN、AN、BN和CN(如图7).
则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称.
∴△PBC≌△NBC.
∴BP=BN,CP=CN,
∠4=∠6=
,∠7=∠8.
∴∠ACN=∠5+∠4+∠6
=
=
.
∵PC=AC,
∴AC=NC.
∴△CAN为等边三角形.
∴AN=AC,∠NAC=
.
∵AB=AC,
∴AN=AB.
∵∠PAN=∠PAC-∠NAC=(
)-
=
,
∴∠PAN=∠3.
在△ABP和△ANP中,
AB=AN,
∠3=∠PAN,
AP=AP,
∴△ABP≌△ANP.
∴PB=PN.
∴△PBN为等边三角形.
∴∠PBN=
.
∴∠7=
∠PBN =
.
即∠PBC=
.
解析
此题主要考查三角形内角和定理及等腰三角形的性质的综合运用,综合性较强。
举一反三
在△ABC中,已知AB=3,AC=4,BC=5,则该三角形为( ).
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形.
题型:不详
难度:
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已知:△ABC≌△A′B′C′,∠A=50°,∠B=70°,则∠C′=
°.
题型:不详
难度:
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如下图,△ADC是等边三角形,以点A为中心,把△ABD顺时针旋转60°得到△ACE.
连结BE,则△ABE是什么特殊三角形
.
题型:不详
难度:
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在△ABC纸片中,已知AB=AC,按图中所示方法可折成一个四边形,其中,点A与点B
重合,点C与点D重合.则原△ABC中的∠B=
°.
题型:不详
难度:
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如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位,记平移后的对应三角形为△DEF,
(1)求DB的长;
(2)求此时梯形CAEF的面积.
题型:不详
难度:
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