(1)∠APC. (2)证明:如图5.
∵CA=CP, ∴∠1=∠2=. ∴∠3=∠BAC-∠1==. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB==. ∴∠4=∠ACB-∠5==. ∴∠3=∠4. 即∠BAP=∠PCB. (3)解法一:在CB上截取CM使CM=AP,连接PM(如图6).
∵PC=AC,AB=AC, ∴PC=AB. 在△ABP和△CPM中, AB=CP, ∠3=∠4, AP=CM, ∴△ABP≌△CPM. ∴∠6=∠7, BP=PM. ∴∠8=∠9. ∵∠6=∠ABC-∠8,∠7=∠9-∠4, ∴∠ABC-∠8=∠9-∠4. 即()-∠8=∠9-(). ∴ ∠8+∠9=. ∴2∠8=. ∴∠8=. 即∠PBC=. 解法二:作点P关于BC的对称点N, 连接PN、AN、BN和CN(如图7).
则△PBC和△NBC关于BC所在直线对称. ∴△PBC≌△NBC. ∴BP=BN,CP=CN, ∠4=∠6=,∠7=∠8. ∴∠ACN=∠5+∠4+∠6 ==. ∵PC=AC, ∴AC=NC. ∴△CAN为等边三角形. ∴AN=AC,∠NAC=. ∵AB=AC, ∴AN=AB. ∵∠PAN=∠PAC-∠NAC=()-=, ∴∠PAN=∠3. 在△ABP和△ANP中, AB=AN, ∠3=∠PAN, AP=AP, ∴△ABP≌△ANP. ∴PB=PN. ∴△PBN为等边三角形. ∴∠PBN=. ∴∠7=∠PBN =. 即∠PBC=. |