如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE

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如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）连结BE，设DC＝a，求BE的长.

答案

（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠CAD＝∠CBD＝15^o，
∴∠1＝∠2＝45°－15^o＝30^o，∴AD＝BD，
又BC＝AC, DC公共∴△BDC≌△ADC（SSS）
∴∠3＝∠4＝45^o．
∴∠CDE＝15^o＋45^o＝60°
又∠BDE＝30^o＋30^o＝60°，∴DE平分∠BDC
(注：证△全等，必须先证AD＝BD，也可以SAS，)
（2）∵CE＝CA，∴等腰△ACE中∠ACE＝150°，∴∠5＝150°－90°＝60°，
又CE＝CA＝BC，∴△BCE为正三角形，BE＝AC
由等腰Rt△ABC性质，延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，设DF＝x,
在Rt△ADF中，∠1＝30^o，则有，解得 （舍去负值），
∴BE＝AC＝＝＝

解析

（1）先证得AD=BD，得△BDC≌△ADC，进而求出∠CDE＝60°，易得∠BDE＝60°，所以DE平分∠BDC；
（2）延长CD交AB于F，则△ADF为Rt△，利用勾股定理求解即可。