如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．求证：EF＝CF．

题型：不详难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．求证：EF＝CF．

答案

（1）证明：如图
过点D作BC的垂线，垂足为G
因为ABCD为直角梯形，∠A="90°"
所以，∠B="90°"
又DG⊥BC
所以，四边形ABGD为矩形
已知AB="AD=6"
所以，四边形ABGD为正方形
所以，AD=GD…………………………………………………（1）
已知DE⊥DC
所以，∠EDC="90°"
即，∠EDG+∠CDG="90°"
而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE="90°"
所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）
又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）
所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）
所以，DE="DC"
已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF
边DF公共边
所以：△EDF≌△CDF（SAS）
所以，EF="CF"

解析

过点D作BC的垂线，结合题中条件构建出正方形，然后通过证明三角形全等证明线段相等。