已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一点，且AE=AB小题1:求∠A

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，
且DB=DC，∠DCB=30°．点E为BD延长线上一点，且AE=AB

小题1:求∠ADE的度数
小题2:若点M在DE上，且DM=DA，
求证：ME=DC．

答案

 
小题1:60°
小题2:

解析

（1）如图4．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2=∠BAC==15°．   ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． 
证明：（2）证法一：连接AM，取BE的中点N，连接AN．（如图5）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM为等边三角形．   ∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，
∴BN=NE，且AN⊥BE．
∴DN=NM．  
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME．
∵DB=DC，
∴ME = DC．
证法二：连接AM．（如图6）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，
∴△ADM为等边三角形．
∴∠3=60°．
∵AE=AB，
∴∠E=∠1=45°．
∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△AEM中，
             ∠1 =∠E，
AB=AE，
∠2 =∠4，
∴△ABD≌△AEM．  
∴BD =EM．
∵DB = DC，
∴ME = DC．