(满分l0分)如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD．(1)用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M(不写作法，保留作

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(满分l0分)如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD．

(1)用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：BM=EM．

答案

(1)图略．                                            ……2分
(2)证明：∵点D为AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴BD是∠ABC的角平分线，                                 ……4分
∴∠CBD=∠ABD=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACE=120°．                      ……6分
又∵CD=CE，
∴∠E=30°，                                             ……7分
∴∠E=∠CBD，∴BD=DE．                                   ……8分
∵DM⊥BE，                                               ……9分
∴BM=EM．                                                    ……10分

解析

略

举一反三

如图，等边三角形ABC的边长为lcm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为__________cm．

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如图，在△ABC中，∠A=a，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…；∠A₂₀₀₈BC的平分线与∠A₂₀₀₈CD的平分线交于点A₂₀₀₉；得∠A₂₀₀₉；则
∠A₂₀₀₉=__________．

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(满分l2分)数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题(1)．
(1)已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；
(2)在证明了该命题后，小颖发现：如图8—13②和③的等腰三角形也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；
(3)接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．(要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形)