如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△

题型：福建省月考题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

答案

（1）证明：由图知和已知条件：
∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，
∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC；
又∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：由△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB=2，BD=x，DC=，CE=2﹣y代入得4﹣2y=
∴．
（3）解：①若AE=DE，则DE⊥AC，
∵AD=，
∴AE=DE=1，
②若AD=DE，由（1）条件知△ABD∽△DCE，
∴AB=DC，2=，x=，BD=CE，AE=2﹣CE=，
∴∠ADE=45°，
∴COS∠ADE=，代入得AD=DE=．
③若AD=AE，则∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，
则AD≠AE．