已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M。（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）找出图中与△ABM相似的所有三角

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已知：正方形ABCD中，E、F分别是边CD、DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M。

（1）求证：△ABF≌△DAE；
（2）找出图中与△ABM相似的所有三角形（不添加任何辅助线）。

答案

解：（1）证明：在正方形ABCD中：
AB=AD=CD，且∠BAD=∠ADC=90°
∵CE=DF
∴AD-DF=CD-CE
即：AF=DE
在△ABF与△DAE中

∴△ABF≌△DAE（SAS）。
（2）与△ABM相似的三角形有：△FAM；△FBA；△EAD。

举一反三

如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上。

（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由）

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已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°，当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=

PM。（不需证明）当PC=

PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明。

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如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，则下列三角形中，与△BOC一定相似的是

[ ]
A．△ABD
B．△DOA
C．△ACD
D．△ABO

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如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。

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如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF。求证：

（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE。

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