如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE 交BC于点F；（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么

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如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE 交BC于点F；
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值。

答案

（1）证明：因为ABCD是正方形，所以∠DAE=∠FBF= 90°，所以 ∠ADE+∠DEA=90°，
又EF⊥DE，所以∠AED十∠FEB=90°，所以∠ADE=∠FEB，所以△ADE∽△BEF；
（2）解：由（1）知△ADE∽△BEF，又AD=4，BE=4-x，
得

，得

，
所以当x=2时，y有最大值，y的最大值为1。

举一反三

如图所示，在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上（点D不与A、C重合），若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件是（）。

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如图所示，在锐角三角形ABC中，高BD、CE相交于点F，则圈中所有和△BEF相似（△BEF自身除外）的三角形的个数是

[ ]
A.1
B.2
C.3
D.4

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如图所示，若A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×7方格纸上的格点，为使△DEM∽△ ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的点

[ ]
A.F
B.G
C.H
D.K

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已知：如图所示，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b。
（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系式时△ABC∽△CDB；
（2）过A作DB的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，判断四边形AEDC的形状（自己完成图形）。

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如图所示，A（28，0），B（0，28），动点P从A开始以3个单位／秒的速度由A向O运动，动直线EF从x 轴开始以1个单位／秒的速度向上平移，且分别交y轴，线段AB于E、F点，该动点P与动直线EF，同时出发，运动时间t秒，当t取t₁、t₂（t₁≠t₂）时所对应的两个三角形分别为△AF₁P₁和△ AF₂P₂，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断。

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