如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D， E是BC边上的中点，连结ED、BD 。 （1）求证：△ABC ∽△BCD；（2）DE与半圆O

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D， E是BC边上的中点，连结ED、BD 。
（1）求证：△ABC ∽△BCD；
（2）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；

答案

（1）证明： ∵AB为直径
                  ∴∠ADB=∠CDB=90°
                 ∴∠ABC=∠CDB=90°
                 又 ∵∠C=∠C
                ∴△ABC ∽△BCD
（2）DE与半圆O相切 连接OD
         ∵OD=OB
          ∴∠ODB=∠OBD 
        ∵E为Rt△BCD的斜边BC的中点
          ∴CE=BD=DE
           ∴∠EDB=∠EBD
           ∵∠OBD+∠EBD=90°
            ∴∠ODB+∠EDB=90°
             ∴DE与半圆O相切