解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90 °,OB=6 , 在Rt △OBP 中,由∠BOP=30 °,BP=t ,得OP=2t, ∵OP2=OB2+BP2, 即(2t )2=62+t2, 解得:t1=,t2=-(舍去), ∴点P 的坐标为(,6); (Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的, ∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP , ∴∠OPB ′= ∠OPB ,∠QPC ′= ∠QPC, ∵∠OPB ′+ ∠OPB+ ∠QPC ′+ ∠QPC=180 °, ∴∠OPB+ ∠QPC=90 °, ∵∠BOP+ ∠OPB=90 °, ∴∠BOP= ∠CPQ, 又∵∠OBP= ∠C=90 °, ∴△OBP ∽△PCQ, ∴, 由题意设BP=t ,AQ=m ,BC=11 ,AC=6 ,则PC=11-t ,CQ=6-m, ∴, ∴(0 <t <11 ). (Ⅲ)过点P 作PE ⊥OA 于E , ∴∠PEA= ∠QAC ′=90 °, ∴∠PC ′E+ ∠EPC ′=90 °, ∵∠PC ′E+ ∠QC ′A=90 °, ∴∠EPC ′= ∠QC ′A , ∴△PC ′E ∽△C ′QA, ∴PE AC ′ =PC ′ C ′Q, ∵PC ′=PC=11-t ,PE=OB=6 ,AQ=m ,C ′Q=CQ=6-m , ∴AC ′=, ∴, ∵m=, 解得:t1=,t2=, 点P 的坐标为(,6 )或(,6)。 | |