如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E。（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E。
（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）若=n（n>0），求sin∠CAB。

答案

解：（1）证明：连接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE；
（2）在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，
∴△ADE∽△EFA，
∴，
∴，
∴AE=2cm；
（3）∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠AEF=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△EDF，
∴，
∵，AD=CD，
∴CF=nCD，
∴DF=（1+n）CD，
∴DE=CD，
在Rt△CDE中，，
∴，
∵∠CAB=∠DEC，
∴sin∠CAB=sin∠DEC=。