已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点。（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；（2）如图②，若=2，

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点。
（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；
（2）如图②，若=2，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积。
图①                             图②

答案

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠CPQ+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，即，
∴CQ=3；
（2）取BP的中点H，连接EH，由=2，设CQ=a，则BP=2a，
∵E，F，G，H分别为AP，PQ，PC，BP的中点，
∴EH∥AB，FG∥CD，
又∵AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∴EH∥FG，EH⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EHGF是直角梯形，
∴EH=AB=2，FG=CQ=a，HP=BP=a，HG=HP+PG=BC=4，
∴S_梯形EHGF=（EH+FG）·HG=（2+a）·4=4+a，
S_△EHP=HP·EH=a·2=a，
∴S_{四边形EPGF}=S_梯形EHGF-S_△EHP=4+a-a=4。
图①

图②