设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（
题型：填空题难度：一般来源：不详
| 设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，又当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）3； ③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是 ______． |
答案
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x-4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，
故①正确．
当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，f（x-2）=（x-2）3=-f（x），
∴f（x）=（2-x）3，故②正确．
∵f（x-2）=-f（x），∴f（1+x）=f（1-x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，
故③正确．
∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2-x）3，∴f（2）=0，
∵f（x-2）=-f（x），∴f（-x-2）=-f（-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x-2），∴函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．
故正确的命题有 ①②③④，
故答案选 ①②③④． |
举一反三
已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤（x2+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式． |
| 函数f（x）=3x+sinx+1（x∈R），若f（t）=2，则f（-t）的值为______． |
| 已知函数f（x+1）为奇函数，函数f（x-1）为偶函数，且f（0）=2，则f（4）=______． |
已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f()=-，令bn=，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g （n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g （n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． |
| 已知偶函数y=f（x）（x∈R），满足f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则方程f（x）=log7|x|的解的个数为（ ） |
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