设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:①函数y=f(

设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:①函数y=f(

题型:填空题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;②当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3; ③函数y=f(x)的图象关于x=1对称;④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是 ______.
答案
∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∵f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,∴f(x-4)=f(x),∴函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,
故①正确.
当x∈[1,3]时,x-2∈∈[-1,1],f(x-2)=(x-2)3=-f(x),
∴f(x)=(2-x)3,故②正确.
∵f(x-2)=-f(x),∴f(1+x)=f(1-x),∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称,
故③正确.
∵当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3,∴f(2)=0,
∵f(x-2)=-f(x),∴f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x-2),
∴f(x+2)=-f(x-2),∴函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.
故正确的命题有  ①②③④,
故答案选  ①②③④.
举一反三
已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤
1
2
(x2+1)对一切实数x恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析表达式.
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函数f(x)=3x+sinx+1(x∈R),若f(t)=2,则f(-t)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x+1)为奇函数,函数f(x-1)为偶函数,且f(0)=2,则f(4)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f (x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(
1
2
)=-
1
2
,令bn=
2n
f(2n)
Sn
表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g (n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g (n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知偶函数y=f(x)(x∈R),满足f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=log7|x|的解的个数为(  )
A.6B.7C.12D.14
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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