(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0. 令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),∴f(1)=0.(2分) (2)令a=b=-1,得f(1)=f[(-1)•(-1)]=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),∴f(-1)=0. 令a=-1,b=x,得f(-x)=f(-1•x)=-1•f(x)+x•f(-1)=-f(x)+0=-f(x).∴f(x)是奇函数.(5分) (3)当ab≠0时,=+. 令g(x)=,则g(a•b)=g(a)+g(b),∴g(an)=ng(a).(7分) ∴f(an)=an•g(an)=n•an•g(a)=n•an-1•f(a). ∵f(1)=f(2•)=2f()+f(2)=0,f()=- ∴f(2)=2, ∴bn==(9分) ∴Sn=1+++…+, ∴Sn-Sn-1=(n≥2) 即nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,(11分) ∴(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,…,2S2-S1=S1+1, ∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1, ∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=(Sn-1)•n(n≥2) ∴g(n)=n. 故存在关于n的整式g (n)=n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立 (13分) |