已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a•b)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f (x

已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a•b)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f (x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a、b∈R都满足f(a•b)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f (x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(
1
2
)=-
1
2
,令bn=
2n
f(2n)
Sn
表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g (n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)•g (n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.
答案
(1)令a=b=0,得f(0)=0•f(0)+0•f(0)=0.
令a=b=1,得f(1)=1•f(1)+1•f(1),∴f(1)=0.(2分)
(2)令a=b=-1,得f(1)=f[(-1)•(-1)]=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),∴f(-1)=0.
令a=-1,b=x,得f(-x)=f(-1•x)=-1•f(x)+x•f(-1)=-f(x)+0=-f(x).∴f(x)是奇函数.(5分)
(3)当ab≠0时,
f(a•b)
a•b
=
f(b)
b
+
f(a)
a

g(x)=
f(x)
x
,则g(a•b)=g(a)+g(b)
,∴g(an)=ng(a).(7分)
∴f(an)=an•g(an)=n•an•g(a)=n•an-1•f(a).
f(1)=f(2•
1
2
)=2f(
1
2
)+
1
2
f(2)=0,f(
1
2
)=-
1
2

∴f(2)=2,
bn=
2n
f(2n)
=
1
n
(9分)
Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

Sn-Sn-1=
1
n
(n≥2)

即nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,(11分)
∴(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,…,2S2-S1=S1+1,
∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1,
∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=(Sn-1)•n(n≥2)
∴g(n)=n.
故存在关于n的整式g (n)=n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立     (13分)
举一反三
已知偶函数y=f(x)(x∈R),满足f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=log7|x|的解的个数为(  )
A.6B.7C.12D.14
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(-log23),c=f(0.2-0.5),则a、b、c的大小关系是(  )
A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<b<c
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知:函数f(x)=x2+4x+3 (x∈R),g(x)与f(x)图象关于直线x=1对称.
(1)求g(x);
(2)如果关于x的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集为全体实数,求a的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知复数:z1=log2(2x+1)+ki,z2=1-xi(其中x,k∈R),记f(x)=Re(z1•z2
(1)试写出f(x)关于x的函数解析式
(2)若函数f(x)是偶函数,求k的值
(3)求证:对任意实数m,由(2)所得函数y=f(x)的图象与直线y=
1
2
x+m的图象最多只有一个交点.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+2x+alnx.
(Ⅰ)若a=-4,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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