已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D

题型：天津中考真题难度：来源：

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D∥OB，求此时点C的坐标。

答案

解：（Ⅰ）如图（1），折叠后点B与点A重合，连接AC，
则△ACD≌△BCD，
设点C的坐标为（0，m）（m>0），
则BC=OB-OC=4-m，
于是AC=BC=4-m，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，解得m=，
∴点C的坐标为；（Ⅱ）如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D，
则△B′CD≌△BCD，
由题设OB′=x，OC=y，
则B′C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，
得B′C²=OC²+OB′²，
∴（4-y）²=y²+x²，
即，
由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
∴解析式（0≤x≤2）为所求，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围为；（Ⅲ）如图（3），折叠后点B落在OA边上的点为B′，连接B′C，B′D，B′D∥OB，
则∠OCB′=∠CB′D，
又∵∠CBD=∠CB′D，
∴∠CB′=∠CBD，
∴CB′∥BA，
∴Rt△COB′∽Rt△BOA，
有，
得OC=20B′，
在Rt△B′OC中，设OB′=x₀（x₀>0），则OC=2x₀，
由（Ⅱ）的结论，得2x₀=，
解得x₀=，
∵x₀>0，
∴x₀=，
∴点C的坐标为。