在图①至图③中,△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,∠MPN=90°。(1)当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、B
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在图①至图③中,△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,∠MPN=90°。(1)当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、B
题型:河北省模拟题
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在图①至图③中,△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,∠MPN=90°。
(1)当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上,且PM⊥AB, PN⊥BC(如图①)时,则PN和PM的数量关系是:PN=________PM;
(2)当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上(如图②)时,求
的值;
(3)当PC=
PA,点M、N分别在线段AB、BC上(如图③)时,求
的值。
答案
解:(1)
;
(2)过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,
则∠PEM=∠PFN=90°,
又∠ABC=90°,
∴四边形BFPE是矩形,
∴∠EPF=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90°,
∴∠MPE=∠NPF,
∴△PFN∽△PEM,
∴
,
由(1)可知PF=
PE,
∴
;
(3)在Rt△ABC中,过点P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于点F,
∴四边形BFPE是矩形,
∴∠EPF=90°,
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°,
可知∠EPM=∠FPN ,
∴△PFN∽△PEM ,
∴
,
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中:∠A=30°,∠C=60°,
∴
,PE=
PA,
∴
,
∵PC=
PA,
∴
。
举一反三
等腰梯形ABCD中,DC∥AB,对角线AC与BD交于点O,AD=DC,AC=BD=AB。
(1)若∠ABD=α,求α的度数;
(2)求证:OB
2
=OD·BD
题型:江苏模拟题
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已知正方形边长为2,点M是AB中点,P为AM上一动点(P不与A、M重合)以BC为直径作⊙O,过P作PE切⊙O于F,交CD于E。(如图1)
(1)求四边形APED的周长;
(2)求BP·CE的值;
(3)如图2,延长DA、EP交于G,连结OF并延长交AD于H,若△EFO∽△HFG,试求PE的长。
题型:江苏模拟题
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如图,EF是△ABC的中位线,将△AEF沿中线AD方向平移到△A
1
E
1
F
1
的位置,使E
1
F
1
与BC边重合,已知△AEF的面积为7,则图中阴影部分的面积为
[ ]
A.7
B.14
C.21
D.28
题型:模拟题
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已知:在菱形ABCD中,O是对角线BD上的一动点。
(1)如图1,P为线段BC上一点,连接PO并延长交AD于点Q,当O是BD的中点时,求证:OP=OQ;
(2)如图2,连结AO并延长,与DC交于点R,与BC的延长线交于点S,若AD=4,∠DCB=60°,BS=10,求AS和OS的长。
题型:模拟题
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如图1,正方形ABCD和正方形QMNP,∠M=∠B,M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于F,QM交AD于E。
⑴求证:ME=MF;
⑵如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并加以证明;
⑶如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且AB=mBC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的关系,并说明理由;
⑷根据前面的探索和图4,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题;若不能,请说明理由。
题型:河北省中考真题
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