探究一:如图1,正△ABC中,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连结AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由;探究二:如图2,若△ABC为任意等腰三角形

探究一:如图1,正△ABC中,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连结AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由;探究二:如图2,若△ABC为任意等腰三角形

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探究一:如图1,正△ABC中,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连结AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由;
探究二:如图2,若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,E为AB上任一点,△CDE为等腰三角形,DE=DC,且∠BAC=∠EDC,连接AD,猜想AD与BC的位置关系,并说明理由。
答案
解(1)AD∥BC;
∵△ABC与△DEC为正三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠1+∠2=∠2+∠3=60°,
∴∠1=∠3,
在△ADC与△BEC中
∴△ADC≌△BEC,
∴∠DAC=∠B=60°,
∴∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC;(2)AD∥BC;
∵△ABC与△DEC为等腰三角形,且∠BAC=∠EDC,
∵△ABC∽△DEC,
,∴
∠ACB=∠DCE即∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3,
∴△ADC∽△BEC,
∴∠DAC=∠B,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠DAC=∠ACB,
∴AD∥BC。
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,BC⊥AB,AD=3,BC=4, E点在AB上,且AE=2,CED=90°。
求:CD的长。
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如图,O是△ABC的重心,AN、CM相交于点O,那么△MON与△AOC面积的比是(    )。
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已知,等腰Rt△ABC中,点O是斜边的中点,△MPN是直角三角形,固定△ABC,滑动△MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为E、F。
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是______;
(2)当△MPN移动到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(3)如图3,等腰Rt△ABC的腰长为6,点P在AC的延长线上时,Rt△MPN的边PM 与AB的延长线交于点E,直线BC与直线NP交于点F,OE交BC于点H,且EH:HO=2:5,则BE的长是多少?
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已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3),现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒。
(1)填空:菱形ABCD的边长是_______、面积是______、 高BE的长是_______;
(2)探究下列问题:
①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形,请探究当t=4秒时的情形,并求出k的值。
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如图,矩形ABCD中,点E为AD上一点,∠BEC=90°,AB=2,DE=1,求BC的长。
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