如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证：（1）AO12=O1D·O1C；（2）E为△ABC的内心。

题型：北京月考题难度：来源：

如图，⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB、⊙O₁于D、E。
求证：（1）AO₁²=O₁D·O₁C；
（2）E为△ABC的内心。

答案

证明：（1）连结O₁B，由O₁A=O₁B可得∠O₁AD=∠O₁CA，∠AO₁D是公共角，
∴△O₁AD∽△O₁CA
∴AO₁²=O₁D·O₁C；
（2）连结AE、BE，由∠ABE=∠AO₁C=∠ABC，∠BAE=∠BO₁E=∠BAC。
∴E为△ABC的内心。