已知直线l与⊙O交于不同的两点E,F,CD是⊙O的直径,CA⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B.若AB=7,BD-AC=1,AE=1,试问在线段AB上是否存在点P
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已知直线l与⊙O交于不同的两点E,F,CD是⊙O的直径,CA⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B.若AB=7,BD-AC=1,AE=1,试问在线段AB上是否存在点P,使得以点P,A,C为顶点的三角形与以点P,B,D为顶点的三角形相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)若l与直径CD不相交,如图所示,
(i)作OH⊥AB于H,易得AE=BF,此时△ACE∽△BED,△AFC∽△BDF, 则E,F为满足的点,故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6 (ii)若除E,F外还存在点P使△APC∽△BPD,设AC=x,BD=y,则y-x=1, ∵Rt△ACE∽Rt△BED,故=,得xy=6 于是x=2,y=3或x=-3,y=-2(舍去) ∵△APC∽△BPD,故=,即=,解得AP=, 故存在第三个满足条件的点P,且AP=. 综合(i),(ii),满足条件的点有三个,AP的长分别为1,6,.
(2)若l与直径CD相交,且交点为Q,如图 (i)由∠AQC=∠DQB,得Rt△ACQ∽Rt△BDQ,则点Q为满足条件的点, 设AC=x,BD=y,则y-x=1, 又∠DEB=∠ECA,则Rt△ACE∽Rt△BED, 故=,得xy=8, 于是,x=,y=或x=,y=(舍去) ∵Rt△ACQ∽Rt△BDQ,∴=,解得AQ=. (ii)若除Q外,还存在点P,使△APC∽△BDP,则=, 整理得AP2-7AP+8=0,解得AP=. 综合(i),(ii),满足条件的点P有三个,AP的长分别为,,. 所以,综合(1)(2)可得,满足条件的点共有6个.AP的长度为: 1,6,,,,.
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举一反三
已知:AB为⊙O的直径,半径OD∥弦BC,且AD=1,AB=4,那么cos∠B的值为( )
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如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在 | MN | 上,且不与M,N重合,当P点在 | MN | 上移动时,矩形PAOB的形状、大小随之变化,则PA2+PB2的值( )
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小明投铅球,铅球着地后落在图中点A处,试估计小明投铅球的成绩.
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如图,AB是⊙O的直径,D、C在⊙O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则∠DAC等于( )
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如图,在⊙O中,半径为5,∠AOB=60°,则弦长AB=______.
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