木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1，O2分别在CD，AB上

题型：不详难度：来源：

木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O₁，O₂分别在CD，AB上，半径分别是O₁C，O₂A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面，并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。
（1）写出方案一中的圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=（），圆的半径为，
①求关于的函数解析式；
②当取何值时圆的半径最大？最大半径是多少？并说明四种方案中，哪一个圆形桌面的半径最大？

答案

（１）方案一中圆的半径为１
（２）方案三的圆半径较大
(3) ①当0<x<时，y=
当时，
②当时，y最大，y最大=，
四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大。

解析

试题分析：（1）圆的直径就是BC的长
方案二：连Ｏ_１Ｏ_２，作ＥＯ_１⊥ＡＢ于Ｅ，然后利用勾股定理即可得
方案三：连ＯＧ，然后利用△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ即可得
（3）分情况讨论：分0<x<与这两种情况进行分析
试题解析：（１）方案一中圆的半径为１
（２）方案二
如图，连Ｏ_１Ｏ_２，作ＥＯ_１⊥ＡＢ于Ｅ，设Ｏ_１Ｅ＝Ｘ，

那么（２Ｘ）^２＝２^２＋（３－２Ｘ）^２，解得Ｘ＝
方案三
连ＯＧ，∴ＯＧ⊥ＣＤ，∵∠Ｄ＝９０°，∴ＯＧ／／ＤＥ
∴△ＯＣＧ∽△ＣＤＥ，∴
设ＯＧ＝ｙ，∴,∴y=，∴方案三的圆半径较大
(3) ①当0<x<时，y=

当时，
②当时，y最大，y最大=，
四种方案中，第四种方案圆形桌面的半径最大。