如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦A

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如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.

答案

（1）见解析（2）PA=PB=AB=2

解析

（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°－30°－30°=120°.
∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=
∠OPB=

∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=

.
∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2

举一反三

已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）

A．

B．2π

C．3π

D．12π

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已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为