试题分析:(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此要想△OPC的面积最大,则要OC边上的高最大;由图形可知,当OP⊥OC时高最大; (2)要想∠OCP的度数最大,由图形可知当PC与⊙O相切才能满足,根据切线的性质即可求得; (3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是⊙O的切线 试题解析:(1)∵AB=4, ∴OB=2,OC=OB+BC=4. 在△OPC中,设OC边上的高为h, ∵S△OPC=OC•h=2h, ∴当h最大时,S△OPC取得最大值. 观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如答图1所示:
此时h=半径=2,S△OPC=2×2=4. ∴△OPC的最大面积为4. (2)当PC与⊙O相切时,∠OCP最大.如答图2所示:
∵tan∠OCP=, ∴∠OCP=30° ∴∠OCP的最大度数为30°. (3)证明:如答图3,连接AP,BP.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD, ∵∠AOP=∠DOB ∴AP=BD, ∵CP=DB, ∴AP=CP, ∴∠A=∠C ∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C, 在△ODB与△BPC中 , ∴△ODB≌△BPC(SAS), ∴∠D=∠BPC, ∵PD是直径, ∴∠DBP=90°, ∴∠D+∠BPD=90°, ∴∠BPC+∠BPD=90°, ∴DP⊥PC, ∵DP经过圆心, ∴PC是⊙O的切线. |