如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,.若动点D在线段AC上(不与点A、C重合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.(1)当点D运动到线段AC中点

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,.若动点D在线段AC上(不与点A、C重合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.(1)当点D运动到线段AC中点

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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,.若动点D在线段AC上(不与点A、C重合),过点D作DE⊥AC交AB边于点E.
(1)当点D运动到线段AC中点时,DE=  
(2)点A关于点D的对称点为点F,以FC为半径作⊙C,当DE=  时,⊙C与直线AB相切.

答案

解析
(1)求出BC,AC的值,推出DE为三角形ABC的中位线,求出即可;
(2)求出AB上的高,CH,即可得出圆的半径,证△ADE∽△ACB得出比例式,代入求出即可.
解:(1)∵∠C=90°,∠A=30°,
∴BC=AB=,AC=6,
∵∠C=90°,DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∵D为AC中点,
∴E为AB中点,
∴DE=BC=
故答案为:
(2)过C作CH⊥AB于H,
∵∠ACB=90°,BC=,AB=,AC=6,
∴由三角形面积公式得: BC•AC=AB•CH, CH=3,
分为两种情况:
①如图1,

∵CF=CH=3,
∴AF=6﹣3=3,
∵A和F关于D对称,
∴DF=AD=
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,

=
DE=
②如图2,

∵CF=CH=3,
∴AF=6+3=9,
∵A和F关于D对称,
∴DF=AD=4.5,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ACB,

=
DE=
故答案为:
举一反三
如图,在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,AC=AB,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.

(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC;
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由;
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
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用一张面积为60π的扇形铁皮,做成一个圆锥容器的侧面(接缝处不计),若这个圆锥的底面半径为5,则这个圆锥的母线长为         
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如图,半径为的⊙O是△ABC的外接圆,∠CAB=60°,则BC=         

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如图,边长为2正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形,则在旋转过程中点D到D’的路径长是       

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如图,已知AB为⊙O的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连结EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC.
(1)求证:EC是⊙O的切线.
(2)过点A作AD垂直于直线EC于D,若AD=3,DE=4,求⊙O的半径.

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