如图,已知AB为⊙O的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连结EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC.(1)求证:EC是⊙O的切线.(2)过点A作A

如图,已知AB为⊙O的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连结EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC.(1)求证:EC是⊙O的切线.(2)过点A作A

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB为⊙O的直径,E是AB延长线上一点,点C是⊙O上的一点,连结EC、BC、AC,且∠BCE=∠BAC.
(1)求证:EC是⊙O的切线.
(2)过点A作AD垂直于直线EC于D,若AD=3,DE=4,求⊙O的半径.

答案
(1)证明见解析;(2).
解析

试题分析:(1)连结OC,根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°,而∠1=∠A,∠A=∠BCE,所以∠BCE=∠1,即∠BCE+∠2=90°,然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为r,在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5,则OE=5-r,OC=r,咋证明△EOC∽△EAD,利用相似比得到 ,即,然后解方程即可得到圆的半径.
(1)如图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,即∠1+∠2=90°.
∵OC=OA,∴∠1=∠A.
又∵∠A=∠BCE,∴∠BCE=∠1.
∴∠BCE+∠2=90°,即OC⊥EC.
又EC过半径OC的外端,∴EC是⊙O的切线.

(2)由(1)可知OC⊥EC,
又AD⊥EC,∴OC∥AD. ∴△EOC∽△EAD. ∴.
设⊙O的半径为r,
在Rt△ADE中AD=3,ED=4,则AE=5,
∴OE=5-r;OC=r.
.
, 即⊙O的半径为.
举一反三
下列命题中,真命题是
A.没有公共点的两圆叫两圆外离;
B.相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称;
C.联结相切两圆圆心的线段必经过切点;
D.内含两圆的圆心距大于零.

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边长为a的正六边形的边心距是        
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如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为点E,BC=.
(1)求AB的长;
(2)求⊙O的半径.

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已知a、b是正实数,那么,是恒成立的.
(1)由恒成立,说明恒成立;
(2)如图,已知AB是直径,点P是弧上异于点A和点B的一点,PC⊥AB,垂足为C,AC=a,BC=b,由此图说明恒成立.

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把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处,又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过4次旋转后,顶点O经过的总路程为  ,经过61次旋转后,顶点O经过的总路程为  

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