如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)已知sin

如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)已知sin

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=90°,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E,交BC于点F.

(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知sin A=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)见解析   (2)6π
解析

(1)证明:连接OE.∵OB=OE,

∴∠OBE=∠OEB,
∵BE是△ABC角平分线,
∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,
∴OE∥BC.
∵∠C=90°,∴∠AEO=∠C=90°,
∴AC是⊙O的切线.
(2)解:连接OF.
∴sin A=,∴∠A=30°.
∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,
∴AE=4,∠AOE=60°,∴AB=12,
∴BC=AB=6,AC=6
∴CE=AC-AE=2.
∴OB=OF,∠ABC=60°,
∴△OBF是正三角形.
∴∠FOB=60°,CF=6-4=2,∴∠EOF=60°.
∴S梯形OECF×(2+4)×2=6.
S扇形EOFπ.
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6π.
举一反三
如图,以AB为直径的半圆绕A点,逆时针旋转60o,点B旋转到点B’的位置,已知AB=6,则图中阴影部分的面积为(     )
A.6B.5C.4D.3

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如图AB是半圆的直径,点D是的中点,∠ABC=50o,则∠DAB等于()
A.550B.600C.650D.700

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为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用如下的方法:将铁环放在水平桌面上,用一个锐角为300的三角板和一把刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,若三角形、刻度尺均与圆相切(切点为B、P),且测得PA=5,则铁环的半径为_________(保留根号).

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如图⊙O是∆ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE//BC,DE交AB的延长线于点E,连结AD、BD

(1)求证∠ADB=∠E;
(2)当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由;
(3)当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径.
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如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为____________.

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