如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P。(1)求证:AP是⊙O的切
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如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P。(1)求证:AP是⊙O的切
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如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P。
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)若OC=CP,AB=
,求CD的长。
答案
(1)证明见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)连接AO,AC(如图).欲证AP是⊙O的切线,只需证明OA⊥AP即可;
(2)利用(1)中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°.然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=3,CD=
.
试题解析:(1)证明:如图,连结AO,AC.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,
.
∴∠ECA=∠EAC.
,
∴∠OAC=∠OCA.
∵CD是⊙O的切线,
∴CD⊥OC.
∴∠ECA+∠OCA=90°.
∴∠EAC+∠OAC=90°.
即∠OAP=90°
∴OA⊥AP.
∵A是⊙O上一点,
∴AP是⊙O的切线.
(2)解:由(1)知OA⊥AP.
在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP=2OA,
.
∴∠P=30°.
∴∠AOP=60°.
∵OC=OA,
∴∠ACO=60°.
在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=
,∠ACO=60°,
.
又∵在Rt△ACD中,∠CAD=90°,∠ACD=90°-∠ACO=30°,
.
考点: 1.切线的判定与性质;2.解直角三角形.
举一反三
已知两圆的半径分别为2和4,圆心距为6,则两圆的位置关系是( )
A.相交
B.内切
C.外切
D.内含
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若圆锥的母线为10,底面半径为6,则圆锥的侧面积为
.
题型:不详
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.
题型:不详
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(1)求证:∠A=2∠DCB;
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留
和根号).
题型:不详
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,
,则
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题型:不详
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