试题分析:(1)因为由是直径,可得∠APB=90°,要使∠PAB=60,即要∠PBA="30" ,即PA=PB=2,当PA=PD、PD=DA时,△PAD是等腰三角形,作辅助线DOAP交PA于G,然后由正方形的性质、勾股定理易知△PAD△DGA,从而用对应边的相似比可得. (2)要求2S1 S3-S22的最大值,只要先把S1、S2、S3用a,b表示,再根据得到关系式,从而利用二次函数最大值概念求得. 试题解析:(1)若∠PAB=60°,需∠PBA=30°, ∵AB是直径, ∴∠APB=90°, 则在Rt△PAB中,PA=AB=2, ∴当PA的长度等于2时,∠PAB=60°; ①若△PAD是等腰三角形,当PA=PD时,如图1,
此时P位于正方形ABCD的中心O. 则PD⊥PA,PD=PA, ∴AD2=PD2+PA2=2PA2=16, ∴PA=2 ②当PD=DA时,以点D为圆心,DA为半径作圆与弧AB的交点为点P.如图2 连PD,令AB中点为O,再连DO,PO,DO交AP于点G,则△ADO≌△PDO,
∴DO⊥AP,AG=PG, ∴AP=2AG, 又∵DA=2AO, ∴AG=2OG, 设AG为2x,OG为x, ∴(2x)2+x2=4, ∴x= ∴AG=2x=,AP= ∴当PA的长度等于2或时,△PAD是等腰三角形. (2)如图,过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,延长EP交BC于点G,则PG⊥BC.
∵P点坐标为(a,b), ∴PE=b,PF=a,PG=4-a 在△PAD、△PAB和△PBC中,
∵AB为直径 ∴∠APB=90° ∴,即 ∴ ∴当a=2时,b=2,2S1S3-S22有最大值是16. 考点: 圆的综合题. |