如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．（1）求证：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．

题型：不详难度：来源：

如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．

（1）求证：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半径R=3，NP=，求NQ的长．

答案

解：（1）证明：连接OP，

∵直线PQ与⊙O相切于P点，∴OP⊥PQ。
∵OP=ON，∴∠OPN=∠ONP。
又∵NP平分∠MNQ，∴∠OPN=∠PNQ。
∴OP∥NQ。∴NQ⊥PQ。
（2）连接MP，
∵MN是直径，∴∠MPN=90°。
∴。∴∠MNP=30°。∴∠PNQ=30°。
∴在Rt△PNQ中，NQ=NP•cos30°=

解析

试题分析：（1）连接OP，则OP⊥PQ，然后证明OP∥NQ即可。
（2）连接MP，在Rt△MNP中，利用三角函数求得∠MNP的度数，即可求得∠PNQ的值，然后在Rt△PNQ中利用三角函数即可求解。