如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC .(1)求证:PA为⊙O 的切线;(2)若OB=5,OP=,求AC的长.
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如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC .
(1)求证:PA为⊙O 的切线; (2)若OB=5,OP=,求AC的长. |
答案
解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=900。 ∵OP∥BC,∴∠B=∠AOP。 又∠P=∠BAC ,∴△ABC∽△POA,∴∠PAO=∠ACB=900。 ∴PA为⊙O 的切线。 (2)∵OB=5,AB是⊙O的直径,∴OA=5,AB=2OB=10。 由(1)知,△ABC∽△POA,∴。 又∵OP=,∴。 在Rt△ACB中,。 ∴AC的长为8。 |
解析
(1)要证PA为⊙O 的切线只要证∠PAO =900,通过直径所对圆周角是直角可得∠ACB=900,从而由△ABC∽△POA即可得证。 (2)同(1)△ABC∽△POA,利用相似比求得BC的长即可由勾股定理求得AC的长。 |
举一反三
如图,AB为⊙O的直径,AC、DC为弦,∠ACD=60°,P为AB延长线上的点,∠APD=30°.
(1)求证:DP是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3cm,求图中阴影部分的面积. |
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为【 】
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若两圆的半径分别是2和3,圆心距是5,则这两圆的位置关系是 . |
如图,点A、B、C在⊙O上,若∠C=30°,则∠AOB的度数为 °.
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已知扇形的圆心角为120°,弧长为10πcm,则扇形的半径为 cm. |
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