(2013年四川自贡10分)如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.(1)求证:
题型:不详难度:来源:
(2013年四川自贡10分)如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线; (2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π) |
答案
解:(1)证明:如图,连接BC,OD,OC,设OC与BD交于点M,
根据圆周角定理得:∠COB=2∠CDB=2×30°=60°, ∵AC∥BD,∴∠A=∠OBD=30°。 ∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°,即OC⊥AC。 ∵OC为半径,∴AC是⊙O的切线。 (2)由(1)知,AC为⊙O的切线,∴OC⊥AC。 ∵AC∥BD,∴OC⊥BD。 ∵DB=,∴由垂径定理可知,MD=MB=BD=. 在Rt△OBM中,∠COB=60°,, 在△CDM与△OBM中, ∵,∴△CDM≌△OBM(ASA)。∴S△CDM=S△OBM。 ∴阴影部分的面积。 |
解析
(1)求出∠COB的度数,求出∠A的度数,根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数,根据切线的判定推出即可; (2)如解答图所示,解题关键是证明△CDM≌△OBM,进行等积转换,得到S阴影=S扇形BOC。 |
举一反三
(2013年浙江义乌3分)已知圆锥的底面半径为6cm,高为8cm,则这个圆锥的母线长为【 】 |
(2013年浙江义乌3分)两圆半径分别为2和3,圆心距为5,则这两个圆的位置关系是【 】 |
(2013年浙江义乌8分)已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C,D,PE是⊙O的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.
(1)若⊙O的半径为8,求CD的长; (2)证明:PE=PF; (3)若PF=13,sinA=,求EF的长. |
如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径
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在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作⊙O交BC于点M、N,⊙O与AB、AC相切,切点分别为D、E,则⊙O的半径和∠MND的度数分别为
A.2,22.5° B.3,30° C.3,22.5° D.2,30° |
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