解:(1)证明:连接OA,
∵PA与⊙O相切, ∴PA⊥OA,即∠OAP=90°。 ∵OP⊥AB,∴D为AB中点,即OP垂直平分AB ∴PA=PB。 ∵在△OAP和△OBP中,, ∴△OAP≌△OBP(SSS)。 ∴∠OAP=∠OBP=90°。∴BP⊥OB。 ∵OB是⊙O的半径,∴PB为圆O的切线。 (2)EF2=4DO•PO。证明如下: ∵∠OAP=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA,∴△OAD∽△OPA。 ∴,即OA2=OD•OP。 ∵EF为圆的直径,即EF=2OA,∴EF2=OD•OP,即EF2=4OD•OP。 (3)连接BE,则∠FBE=90°。
∵tan∠F=,∴。∴可设BE=x,BF=2x。 则由勾股定理,得。 ∵S△BEF=BE•BF=EF•BD,∴BD=。 又∵AB⊥EF,∴AB=2BD=。 ∴Rt△ABC中,BC=,AC2+AB2=BC2, ∴122+()2=()2,解得:x=。 ∴BC==20。 ∴。 |