如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB=2，求AD的长．

题型：不详难度：来源：

如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若半径OB=2，求AD的长．

答案

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵BO=BD=DO，∴△OBD是等边三角形。∴∠OBD=∠ODB=60°。
∵BD=BC，∴∠BDC=∠OBD=30°。
∴∠ODC=90°。
∴OD⊥CD。
∵OD为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
（2）∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°。
∵BO=BD=2，∴AB=2BO=4。
∴。

解析

试题分析：（1）由于BO=BD=BC，根据等边三角形的判定和性质，三角形外角性质可得∠ODC=90°，从而根据切线的判定方法即可得到结论。
（2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2， AB=2BO=4，根据勾股定理可求出AD。