如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.(1)求证:AF⊥EF.(2)小强同学通
题型:不详难度:来源:
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平行线交⊙O与点D,过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F.
(1)求证:AF⊥EF. (2)小强同学通过探究发现:AF+CF=AB,请你帮忙小强同学证明这一结论. |
答案
(1)首先连接OD,由EF是⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF。 (2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB,△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB。 |
解析
分析:(1)首先连接OD,由EF是⊙O的切线,可得OD⊥EF,由∠BAC的平行线交⊙O与点D,易证得OD⊥BC,即可得BC∥EF,由AB为直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得AC⊥BC,继而证得AF⊥EF。 (2)首先连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,易证得△ADH≌△ADB,△CDF≌△HDF,继而证得AF+CF=AB。 证明:(1)连接OD,
∵EF是⊙O的切线,∴OD⊥EF。 ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD。 ∴。∴OD⊥BC。∴BC∥EF。 ∵AB为直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC。 ∴AF⊥EF。 (2)连接BD并延长,交AF的延长线于点H,连接CD,
∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BH。 ∴∠ADB=∠ADH=90°, ∵在△ABD和△AHD中,, ∴△ABD≌△AHD(ASA)。∴AH=AB。 ∵EF是切线,∴∠CDF=∠CAD,∠HDF=∠EDB=∠BAD。∴∠EDF=∠HDF。 ∵DF⊥AF,DF是公共边,∴△CDF≌△HDF(ASA)。∴FH=CF。 ∴AF+CF=AF+FH=AH=AB,即AF+CF=AB。 |
举一反三
为了打造重庆市“宜居城市”,某公园进行绿化改造,准备在公园内的一块四边形ABCD空地里栽一棵银杏树(如图),要求银杏树的位置点P到点A、D的距离相等,且到线段AD的距离等于线段a的长.请用尺规作图在所给图中作出栽种银杏树的位置点P.(要求不写已知、求作和作法,只需在原图上保留作图痕迹).
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已知⊙O1与⊙O2相交,它们的半径分别是4,7,则圆心距O1O2可能是 |
如图,直线分别与x、y轴交于点B、C,点A(﹣2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小; (2)求点P的坐标,使∠APO=30°; (3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点P的个数有几个?若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由. |
如图,已知AB、CD是⊙O的两条直径,∠ABC=28°,那么∠BAD=
A.28° B.42° C.56° D.84° |
如图,⊙O的直径AB=10,C、D是圆上的两点,且.设过点D的切线ED交AC的延长线于点F.连接OC交AD于点G.
(1)求证:DF⊥AF. (2)求OG的长. |
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