如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E，则AE的长为       .

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E，则AE的长为       .

答案

或

解析

试题分析：

过B作BF⊥AC于点F。在Rt△BAF中，∵∠BAF=60°，
所以AF=AB=2.BF=，则CF=AC-AF=6-2=4
所以
连结BO交圆O于点M。连结MC、OC。

根据同弧所对圆周角相等，可知：∠BMC=∠BAC=60°。
则sin∠BMC=sin∠BAC=。即
又因为△MOC为等腰三角形。所以△MOC是等边三角形。
则MC=OM=OC=r=

过E点作EC⊥AC于点H。设AE=x，则EH=x。AH=x。CH=6-x。
所以
解得x₁=，x₂=则AE=或。
点评：本题难度较大。主要考查学生对圆及三角函数知识点的综合运用，一般为压轴题型，要求学生多做训练，注意 数形结合思想的培养，运用到考试中去。