如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60º,∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E,则AE的长为       .

如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60º,∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E,则AE的长为       .

题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60º,∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E,则AE的长为       .

答案

解析

试题分析:

过B作BF⊥AC于点F。在Rt△BAF中,∵∠BAF=60°,
所以AF=AB=2.BF=,则CF=AC-AF=6-2=4
所以
连结BO交圆O于点M。连结MC、OC。

根据同弧所对圆周角相等,可知:∠BMC=∠BAC=60°。
则sin∠BMC=sin∠BAC=。即
又因为△MOC为等腰三角形。所以△MOC是等边三角形。
则MC=OM=OC=r=

过E点作EC⊥AC于点H。设AE=x,则EH=x。AH=x。CH=6-x。
所以
解得x1=,x2=则AE=
点评:本题难度较大。主要考查学生对圆及三角函数知识点的综合运用,一般为压轴题型,要求学生多做训练,注意 数形结合思想的培养,运用到考试中去。
举一反三
AB是⊙O的一条弦,它的中点为M,过点M作一条非直径的弦CD,过点C和D作⊙O的两条切线,分别与直线AB相交于P、Q两点.求证:PA=QB

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用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4 cm,底面周长是6π cm,则扇形的半径为
A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

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如图,Rt△ABC内接于⊙O,BC为直径,AB=4,AC=3,D是的中点,CD与AB的交点为E,则等于
A.4B.3.5C.3D.2.5

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如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠BAC=2∠B,⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P。若,求AC的长。

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已知⊙O1与⊙O2相切,两圆半径分别为3和5,则圆心距O1O2的值是     
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