如图,在扇形中,半径长,;以为直径作半圆,点是弧上的一个动点,与半圆交于点,⊥于点,与交于点,连结. (1)求证:;(2)设, ,试求关于的函数关系式,并写出的
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如图,在扇形中,半径长,;以为直径作半圆,点是弧上的一个动点,与半圆交于点,⊥于点,与交于点,连结. (1)求证:;(2)设, ,试求关于的函数关系式,并写出的
题型:不详
难度:
来源:
如图,在扇形
中,半径长
,
;以
为直径作半圆
,点
是弧
上的一个动点,
与半圆
交于点
,
⊥
于点
,
与
交于点
,连结
.
(1)求证:
;
(2)设
,
,试求
关于
的函数关系式,并写出
的取值范围;
(3)若点
落在线段
上,当
∽
时,求线段
的长度.
答案
(1)连结AD,根据圆的基本性质可得AD=AB,再根据圆周角定理可得∠ACB=90°,即AC⊥BD,即可证得结论;(2)y=
,0≤x≤10;(3)
解析
试题分析:(1)连结AD,根据圆的基本性质可得AD=AB,再根据圆周角定理可得∠ACB=90°,即AC⊥BD,即可证得结论;
(2)在Rt△ADG中,根据勾股定理可表示出DG的长,再证得Rt△AFG∽Rt△DBG,根据相似三角形的性质即可证得结论;
(3)在点D运动过程中,若点G落在线段OB上,且△FOG∽△ABC时,由Rt△AFG∽Rt△ABC,可证得Rt△FOG∽Rt△AFG,再根据相似三角形的性质求解即可.
(1)连结AD
∵点D、B在弧BE上
∴AD=AB
∵点C在半圆O上,AB为半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BD,
∴DC=BC;
(2)∵AD=AB=10,AG=x,
∴BG=10-x,
∵DG⊥AB于点G,
∴在Rt△ADG中,DG
2
=AD
2
-AG
2
=100-x
2
,
∴DG=
∵∠CAB+∠B=∠D+∠B=90°,
∴∠FAG=∠D,
∴Rt△AFG∽Rt△DBG,
∴FG/AG=BG/DG,
∴FG/x="(10-x)/"
,
∴FG="x(10-x)/"
则y=FG
2
=
.
其中x的取值范围为0≤x≤10;
(3)在点D运动过程中,若点G落在线段OB上,且△FOG∽△ABC时,
∵Rt△AFG∽Rt△ABC,
∴Rt△FOG∽Rt△AFG,
∴FG
2
=AG·OG=x(x-5),
∴
=x(x-5),解得:x=
经检验可知:AG=
.
综上所述,当△FOG∽△ABC时,AG=
.
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
举一反三
如图,⊙O是正方形 ABCD的外接圆,点 P 在⊙O上,则∠APB等于
.
题型:不详
难度:
|
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如图:已知AB是⊙O的直径,P为AB的延长线上一点.且BP=
AB,C、D是半圆AB的两个三等分点,连接PD.
(1)PD与⊙O有怎样的位置关系?并证明你的结论;
(2)连接PC,若AB=10cm,求由PC,弧CD、PD所围成的图形的面积(结果保留π).
题型:不详
难度:
|
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已知点P是半径为5 的⊙O内的一点,且OP=3,则过点P的所有⊙O的弦中,最短的弦长等于( ).
A.4
B.6
C.8
D.10
题型:不详
难度:
|
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在半径为6的圆中,60°的圆心角所对的弧长等于
.
题型:不详
难度:
|
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如图,AB是⊙O的直径,弦CE⊥AB交AB于点D,点P在AB的延长线上, 连结OE、AC、BC,已知∠POE=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若BD=2OD,且PB=12,求⊙O的半径.
题型:不详
难度:
|
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