在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x（1）用含x的

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN//BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x

（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM//AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式。

答案

（1）（2）（3）

解析

试题分析：27、解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC
∴，即，∴
∵AM⊥AN，∴   
（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，

则AO=OD=MN
在Rt△ABC中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，∴，∴  
过M作MQ⊥BC于Q，则
则△BMQ∽△ABC，
∴，∴
∵
∴                                   
（3）

∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四边形AMPN是矩形
∴PN=AM=x
又∵四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-(4-x)=2x-4
又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，  
∴
∵
∴
点评：本题难度较大，主要考查学生结合四边形性质和相似三角形性质等知识点解决动点问题的综合能力，为中考常考题型，要求学生多做训练，掌握这类题型解题技巧。确定动点在一定范围内的函数关系式为解题关键。