如图,AB是⊙O的直径,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长.

如图,AB是⊙O的直径,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长.

题型:不详难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.

(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长.
答案
(1)连接OD,先根据圆的基本性质可得∠ADO=∠PBD,再由∠PDA=∠PBD可得∠PBD=∠BDO,根据圆周角定理可得∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°,即可证得结论;(2)1
解析

试题分析:(1)连接OD,先根据圆的基本性质可得∠ADO=∠PBD,再由∠PDA=∠PBD可得∠PBD=∠BDO,根据圆周角定理可得∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°,即可证得结论;
(2)先证得△AOD是等边三角形,即可得到∠P=30°,根据含30度角的直角三角形的性质可得PD=2DO,在Rt△POD中,设OD=AO=x,根据勾股定理即可列方程求得x的值,从而得到结果.
(1)连接OD,

∵OB=OD,
∴∠ADO=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD,
∴∠PBD=∠BDO.
又∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°即∠ADO+∠BDO=90°,
∴∠ADO+∠PDA=90°即OD⊥PD
∴PD是⊙O的切线. 
(2)∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,
∴∠BDO=30°,
∵∠ADO+∠BDO=90°,
∴∠ADO=60°.
∴△AOD是等边三角形
∴∠POD=60°,
∵OD⊥PD,
∴∠P=30°,
∴PD=2DO.
在Rt△POD中,设OD=AO=x,则
,解得(不合题意,舍去),
∴AO=1,PO=2,
∴PA=PO-AO=1.
点评:此类问题知识点较多,综合性较强,是中考常见题,一般难度不大.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作切线交AB的延长线于点D,∠D=30º.

(1)求∠A的度数;
(2)过点CCFAB于点E,交⊙O于点FCF=4,求的长度(结果保留π).
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一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是(    )
A.9B.18C.27D.39

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已知⊙O和⊙O相切,两圆的圆心距为9cm,⊙的半径为4cm,则⊙O的半径为(   )
A.5cmB.13cmC.9 cm 或13cmD.5cm 或13cm

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如图,已知点E是圆O上的点, B、C分别是劣弧的三等分点, ,则的度数为         
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如图,以点O为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦长AB的取值范围是(    )
A.8≤AB≤10B.AB≥8
C.8<AB<10D.8<AB≤10

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