已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O 的切线, 交OD的延长线与点E,连接AE.(1)求证:AE与⊙O相切;(2)连接B
题型:不详难度:来源:
已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥AC于点D,过点C作⊙O 的切线, 交OD的延长线与点E,连接AE.
(1)求证:AE与⊙O相切; (2)连接BD并延长交AE于点F,若EC∥AB,OA=6,求AF的长. |
答案
(1)连接OC,根据切线的性质可得∠OCE=90°,由OA=OC,OD⊥AC可得∠COE=∠AOE,即可证得△COE≌△AOE,则可得∠OAE =∠OCE = 90°,从而证得结论;(2)4 |
解析
试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质可得∠OCE=90°,由OA=OC,OD⊥AC可得∠COE=∠AOE,即可证得△COE≌△AOE,则可得∠OAE =∠OCE = 90°,从而证得结论; (2)设BF与OC相交于点G,先证得四边形OAEC是矩形,再结合OA=OC可得矩形OAEC是正方形,则可得OG∥AE,AE=AO=6,OD=ED,所以有,则可得OG=EF,由OG∥AE可得,即可得到,从而求得结果. (1)连接OC
∵CE是⊙O的切线 ∴∠OCE=90° ∵OA=OC,OD⊥AC ∴∠COE=∠AOE ∵OA=OC,∠COE=∠AOE,OE=OE ∴△COE≌△AOE(SAS) ∴∠OAE=∠OCE=90° ∴OA⊥AE ∴AE与⊙O相切; (2)设BF与OC相交于点G ∵EC∥AB ∴∠AEC=∠OAE=90° ∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90° ∴四边形OAEC是矩形 ∵OA=OC ∴矩形OAEC是正方形 ∴OG∥AE,AE=AO=6,OD=ED ∵OG∥AE ∴ ∴OG=EF ∵OG∥AE ∴ ∴ ∴. 点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型. |
举一反三
如图,在⊙O中,弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离为cm,则劣弧等于 . |
如图,AB是⊙O的直径,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)求证:PD是⊙O的切线; (2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长. |
如图,AB是⊙O的直径,过⊙O上的点C作切线交AB的延长线于点D,∠D=30º.
(1)求∠A的度数; (2)过点C作CF⊥AB于点E,交⊙O于点F,CF=4,求的长度(结果保留π). |
一个圆锥的高为3,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是( ) |
已知⊙O和⊙O相切,两圆的圆心距为9cm,⊙的半径为4cm,则⊙O的半径为( )A.5cm | B.13cm | C.9 cm 或13cm | D.5cm 或13cm |
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