试题分析:利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,从而可判断△ABC的形状(2)由三角形内角和得∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,作OE⊥AC,连接OA,由垂径定理得,AE=CE=AC=cm,再由余弦的概念求得半径OA的长,由圆的周长公式求得周长. 解:(1)△ABC为等边三角形证明如下: ∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角 ∴∠BAC=∠BDC ∵∠ACB=∠BDC=60° ∴∠BAC =∠ACB =60° ∴△ABC为等边三角形……………………3分 (2)过O点作OE⊥AC于E点,连接OA ∵AC= ∴AE=CE= ∵△ABC为等边三角形 ∴∠OAE=∠BAC=30° 设OE=x,则OA=2x, 在Rt△OAE中,有,解之得x=1 ∴OA=2 即⊙O的周长=2×2×π=4πcm 点评:本题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角相等,并且等于它所对的圆心角的一半.也考查了等边三角形的判定方法.本题利用了圆周角定理,等边三角形的判定和性质,垂径定理,余弦的概念,圆周长公式求解. |