解:(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆, ∴O′A=OA=2; ②当经过圆O时,折叠后的所在圆O′在⊙O上,如图2所示,连接O′A.OA.O′B,OB,OO′
∵△OO′A△OO′B为等边三角形, ∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120° ∴==; ③如图3所示,连接OA,OB,
∵OA=OB=AB=2, ∴△AOB为等边三角形,过点O作OE⊥AB于点E, ∴OE=OA•sin60°=. (2)①如图4,当折叠后的与所在圆外切于点P时, 过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E,交CD于点G、交于点F, 即点E、H、P、O、G、F在直径EF上,
∵AB∥CD, ∴EF垂直平分AB和CD, 根据垂径定理及折叠,可知PH=PE,PG=PF, 又∵EF=4, ∴点O到AB.CD的距离之和d为: d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2, ②如图5,当与不平行时, 四边形是平行四边形. 证明如下: 设O′O″为和所在圆的圆心, ∵点O′与点O关于AB对称,点O″于点O关于CD对称, ∴点M为的OO′中点,点N为OO″的中点 ∵折叠后的与所在圆外切, ∴连心线O′O″必过切点P, ∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆, ∴O′P=O″P=2,∴PM=OO″=ON,PM=ON, ∴四边形OMPN是平行四边形.
(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆,可得O′A的长度; ②如图2,过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,连接OA.OB.AE、BE,可得△OAE、△OBE为等边三角形,从而得到的圆心角,再根据弧长公式计算即可; ③如图3,连接O′A.O′B,过点O′作O′E⊥AB于点E,可得△AO′B为等边三角形,根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离; (2)①如图4,与所在圆外切于点P时,过点O作EF⊥AB交于于点E,交于点F,根据垂径定理及折叠,可求点O到AB.CD的距离之和; ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证. |