已知:如图,内接于⊙O, 为⊙O的直径,, 点是上一个动点,连结、和, 与相交于点, 过点作于, 与相交于点,连结和. (1) 求证:;(2)如图1,若, 求证
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已知:如图,内接于⊙O, 为⊙O的直径,, 点是上一个动点,连结、和, 与相交于点, 过点作于, 与相交于点,连结和. (1) 求证:;(2)如图1,若, 求证
题型:不详
难度:
来源:
已知:如图,
内接于⊙O,
为⊙O的直径,
, 点
是
上一个动点,连结
、
和
,
与
相交于点
, 过点
作
于
,
与
相交于点
,连结
和
.
(1) 求证:
;
(2)如图1,若
, 求证:
;
(3) 如图2,设
, 四边形
的面积为
,求
与
之间的关系式.
答案
(1) 证明: ∵
,
为
的直径
∴
∵
,
∴
∵
∴
是等腰直角三角形
∴
∴
∴
是等腰直角三角形
∴
∴
≌
∴
(2)证明:∵
∴
∴
∴
∴
是
的中点
∴
∴
是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∥
(3)解:
=
(
)
解析
(1)根据PC与CD垂直,由垂直定义得到∠PCD为直角,又AB为圆的直径,由直径所对的圆周角为直角得到∠ACB与∠ADB也为直角,根据同角的余角相等得到∠ACD与∠BCP相等,又AC=BC得到三角形ABC为等腰直角三角形,进而得到∠CAB=45°,根据同弧所对的圆周角相等得到∠CDP=45°,即三角形DCP为等腰直角三角形,所以CD=CP,利用”SAS“即可得到三角形ACD与三角形BCP全等,根据全等三角形的对应边相等得到AD=PB;
(2)根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABD=∠ACD,则tan∠ACD=tan=∠ABD,在直角三角形ABD中,由正切函数定义得到AD等于BD的一半,由(1)得到AD=PB代入比例式得到P为BD中点,即AP为直角三角形ABD斜边上的中线,则AP=DP,所以三角形ADP为等腰直角三角形,所以∠APD=45°,又∠CDP=45°,得到一对内错角相等,从而得到两直线平行,得证;
(2)(3)四边形APBC的面积可以分为三角形ACD和三角形APC的面积之和,而三角形ACD与三角形BCP全等,故四边形的面积可以等于三角形BCP和三角形APC的面积之和,即三角形ABC的面积减去三角形ABP的面积,而P为BD中点,根据等底同高得到三角形ABP的面积与三角形ADP的面积相等,从而得到四边形的面积等于三角形ABC的面积减去三角形ADP的面积,然后由这两个三角形都为等腰直角三角形且直角边分别为5
和x,利用三角形的面积公式即可表示出y与x的函数关系式,同时求出自变量x的范围.
举一反三
如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为( )
A.
B.1
C.2
D.
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如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B″C″的位置,设BC=1,AC=
,则顶点A运动到点A″的位置时,
求:(1)点A经过的路线的长度;
(2)点A经过的路线与直线l所围成的面积.(计算结果保留π)
题型:不详
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如图,点A、B、C在⊙O上,∠ABC=30°,则∠OAC等于
A.60° B.45° C.35° D.30°
题型:不详
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|
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如图,某天早晨王老师沿⊙M的半圆形M→A→B→M路径匀速散步,此时王老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是
x
题型:不详
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一个扇形的圆心角为60°,半径为6cm,则这个扇形的弧长为____
___cm.(结果保留
)
题型:不详
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