如图,已知⊙O的弦AB等于半径,连结OB并延长使BC=OB.(1)∠ABC= °;(2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论;(3)在⊙O上,是否存在点
题型:不详难度:来源:
如图,已知⊙O的弦AB等于半径,连结OB并延长使BC=OB.
(1)∠ABC= °; (2)AC与⊙O有什么关系?请证明你的结论; (3)在⊙O上,是否存在点D,使得AD=AC?若存在,请画出图形,并给出证明;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)120°(2)AC是⊙O的切线,证明见解析(3)存在,证明见解析 |
解析
解:(1)120°;……………………………………………………………1分 (2)AC是⊙O的切线.……………………………………………………3分 证法一 ∵AB=OB=OA,∴△OAB为等边三角形,…………………………4分 ∴∠OBA=∠AOB=60°.……………………………………………5分 ∵BC=BO,∴BC=BA, ∴∠C=∠CAB,……………………………………………………………6分 又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C, 即2∠C=60°,∴∠C=30°,………………………………………7分 在△OAC中,∵∠O+∠C=60°+30°=90°, ∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分 ∴AC是⊙O的切线; 证法二: ∵BC=OB,∴点B为边OC的中点,……………………………………4分 即AB为△OAC的中位线,…………………………………………………5分 ∵AB=OB=BC,即AB是边OC的一半,……………………………6分 ∴△OAC是以OC为斜边的直角三角形,…………………………………7分 ∴∠OAC=90°,…………………………………………………………8分 ∴AC是⊙O的切线; (3)存在.……………………………………………………………………9分 方法一: 如图2,延长BO交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………10分 证明如下: 连结AD,∵BD为直径,∴∠DAB=90°.…………………………11分 在△CAO和△DAB中, ∵,∴△CAO≌△DAB(ASA),………………12分 ∴AC=AD.…………………………………………………………………13分 (也可由OC=BD,根据AAS证明;或HL证得,或证△ABC≌△AOD) 方法二: 如图3,画∠AOD=120°,……………………………………………10分 OD交⊙O于点D,即为所求的点.…………………………………………11分 ∵∠OBA=60°, ∴∠ABC=180°-60°=120°. 在△AOD和△ABC中, ∵,∴△AOD≌△ABC(SAS),………………12分
∴AD=AC.…………………………………………………………………13分 (1)由已知可知△AOB为等边三角形,利用平角求出∠ABC的度数 (2)利用直角三角形的性质求出∠OAC=90°,从而得出结论 (3)延长BO交⊙O于点D,即为所求的点,利用全等三角形求证 |
举一反三
如图,是O的直径,点C在圆上,且50°.则( * )
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已知⊙O1和⊙O2相切,两圆的圆心距为10cm,⊙O1的半径为4cm,则⊙O2的半径为( * ). |
如图⊙P的圆心P在⊙O上,⊙O的弦AB所在的直线与⊙P切于C,若⊙P的半径为r,⊙O的半径为R.⊙O和⊙P的面积比为9∶4,且PA=10,PB=4.8,DE=5,C、P、D三点共线
(1)求证:; (2),求AE的长; (3)连结PD,求sin∠PDA的值. |
下列各命题正确的是 : ( )A.若两弧相等,则两弧所对圆周角相等 | B.有一组对边平行的四边形是梯形. | C.垂直于弦的直线必过圆心 | D.有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. |
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若⊙O1和⊙O2相切,O1O2 = 10,⊙O1半径为3,则⊙O2半径为___________. |
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