给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q四点共圆.
题型:不详难度:来源:
给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) |
答案
证明:设PQ,MN交于K点,连接AP,AM. 由射影定理,得AM*AM=AC"*AB,AP*AP=AC*AB",又B、C、B"、C"四点共圆, 由切割线定理,AC"*AB=AC*AB", ∴AM=AP,又AM=AN,AP=AQ(垂直于直径的弦性质), ∴AM=AP=AN=AQ,M、N、P、Q是共圆心为A的圆. 须证MK•KN=PK•KQ, 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) =(PB′-KB′)•(PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① ∵AP=AM(所对弧长相等), 从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①,命题得证.
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举一反三
已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC,M、N分别是AC,BD中点,且M、N不重合. (1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由; (2)若∠BAC=30°,∠CAD=45°,AC=4,求MN的长. |
一个点到圆上的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则圆的半径为______cm. |
如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1),连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交y轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形. (1)试找出图1中的一个损矩形; (2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上; (3)随着点D位置的变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由; (4)在图②中,过点M作MG⊥y轴于点G,连接DN,若四边形DMGN为损矩形,求D点坐标. |
如图,在▱ABCD中,∠BAD为钝角,且AE⊥BC,AF⊥CD. (1)求证:A、E、C、F四点共圆; (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N.求证:BM=ND.
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⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)
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