已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC,M、N分别是AC,BD中点,且M、N不重合.(1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由;(2)若∠BAC=30°,∠C
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已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC,M、N分别是AC,BD中点,且M、N不重合. (1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由; (2)若∠BAC=30°,∠CAD=45°,AC=4,求MN的长. |
答案
(1)线段MN与BD垂直. 连接MB与MD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半,可以知道 MB=,MD=,所以MB=MD. 三角形MBD中,N是底边上的中点,等腰三角形的性质可以说明: MN垂直BD.
(2)如图一:连接BM、MD,延长DM,过B作DM延长线的垂线段BE, ∵M是AC的中点, ∴MD⊥AC,△BCM是等边三角形, ∴在Rt△BEM中,∠EMB=30°, ∵AC=4,∴BM=2, ∴BE=1,EM=,MD=2, 从而可知 BD==2 ∴BN=. 由Rt△BMN可得: MN==. 如图二:连接BM、MD,延长AD,过B作垂线段BE, ∵M、N分别是AC,BD中点, ∴MD=AC,MBAC, ∴MD=MB, ∵∠BAC=30°,∠CAD=45°, ∴∠BMC=60°,∠DMC=90°, ∴∠BMD=30°, ∴∠BDM==75°, ∵∠MDA=45° ∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°, 令ED=x,则BE=x,AD=2,AB=2, ∴由Rt△ABE可得:(2)2=(x)2+(x+2)2, 解得x=,则BD=2, ∵M、N分别是AC,BD中点, ∴MD=2 DN=. 由Rt△MND可得: MN==. |
举一反三
一个点到圆上的最小距离为4cm,最大距离为9cm,则圆的半径为______cm. |
如图①,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D是x轴正半轴上一动点(OD>1),连接BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交y轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形. (1)试找出图1中的一个损矩形; (2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上; (3)随着点D位置的变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由; (4)在图②中,过点M作MG⊥y轴于点G,连接DN,若四边形DMGN为损矩形,求D点坐标. |
如图,在▱ABCD中,∠BAD为钝角,且AE⊥BC,AF⊥CD. (1)求证:A、E、C、F四点共圆; (2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N.求证:BM=ND.
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⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,BC交于K,N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)
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如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内 | B.点P在⊙O上 | C.点P在⊙O外 | D.无法确定 |
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