在△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.①若A、O、C三点在同一

在△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.①若A、O、C三点在同一

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在△AOB中,AB=OB=2,△COD中,CD=OC=3,∠ABO=∠DCO.连接AD、BC,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.
①若A、O、C三点在同一直线上,且∠ABO=2α,则
AD
BC
=______(用含有α的式子表示);
②固定△AOB,将△COD绕点O旋转,PM最大值为______.
答案
连接BM、CN,
由题意知BM⊥OA,CN⊥OD,∠AOB=∠COD=90°-α,
∵A、O、C三点在同一直线上,
∴B、O、D三点也在同一直线上,
∴∠BMC=∠CNB=90°,
∵P为BC中点,
∴在Rt△BMC中,PM=
1
2
BC,在Rt△BNC中,PN=
1
2
BC,
∴PM=PN,
∴B、C、N、M四点都在以点P为圆心,
1
2
BC为半径的圆上,
∴∠MPN=2∠MBN,
又∵∠MBN=
1
2
∠ABO=α,
∴∠MPN=∠ABO,
∴△PMN△BAO,
MN
PM
=
AO
BA

由题意知MN=
1
2
AD,PM=
1
2
BC,
AD
BC
=
MN
PM

AD
BC
=
AO
BA

在Rt△BMA中,
AM
AB
=sinα,
∵AO=2AM,
AO
BA
=2sinα,
AD
BC
=2sinα;

(2)当DCAB时,即四边形ABCO是梯形时,PM有最大值.
PM=(AB+CD)÷2=(2+3)÷2=
5
2

举一反三
操作与探究
我们知道:过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,探究过四边形四个顶点作圆的条件.
(1)分别测量图1、2、3各四边形的内角,如果过某个四边形的四个顶点能一个圆,那么其相对的两个角之间有什么关系?证明你的发现.

(2)如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆,那么其相对的两个角之间有上面的关系吗?试结合图4、5的两个图说明其中的道理.(提示:考虑∠B+∠D与180°之间的关系)

由上面的探究,试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件.
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如图,在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,点A坐标为(
1
2


3
2
),则点A与⊙O的位置关系是(  )
A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.无法判断

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平面上的一点和⊙O的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这圆的半径是______cm.
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如图所示,一圆弧过方格的格点A、B、C,试在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(-2,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是(  )
A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)

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如图所示,在△ABC中,CE,BD分别是AB,AC边上的高,求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
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