如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=2CD.

如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=2CD.

题型:不详难度:来源:
如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,求证:CA+CB=


2
CD.
答案
证明:连接AD,BD,过A作AM⊥CD,过B作BN⊥CD,垂足分别为M、N,
∵AB为直径,CD平分∠ACB交⊙O于D,
∴∠ACD=∠BCD=
1
2
∠ACB=45°,
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形,AD=BD,
在Rt△ACM中,CM=


2
2
CA,在Rt△BCN中,CN=


2
2
CB,
∴CM+CN=


2
2
(CA+CB),
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM+∠BDN=90°,
又∵∠BDN+∠DBN=90°,
∴∠ADM=∠DBN,
在△ADM与△BDN中,





∠ADM=∠DBN
∠AMD=∠DNB=90°
AD=BD

∴△ADM≌△BDN(AAS),
∴DN=AM,
又∵AM=CM(等腰直角三角形两直角边相等),
∴CM=DN,
∴CD=CN+DN=CN+CM=


2
2
(CA+CB),
∴CA+CB=


2
CD.
举一反三
如图,已知AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,若∠BOC=100°,则∠BAO=______°.
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已知圆O的半径为6cm,弦AB=6cm,则弦AB所对的圆周角是______度.
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如图,BC是⊙O的直径,若∠ABC=25°,则∠ADB的度数为(  )
A.25°B.65°C.75°D.无法确定

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⊙O中,直径ABCD弦,
AC
度数=60°,则∠BOD=______.
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已知圆O的弦AB被OC分成3cm与2cm的两段,点C为弦AB上的一点,若OC=2.5cm,则圆O直径为(  )
A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm
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