如图，BC为半圆O的直径，CA为切线，AB交半圆O于点E，EF⊥BC于点F，连接EC．则图中与△CEF相似的三角形共有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

题型：不详难度：来源：

如图，BC为半圆O的直径，CA为切线，AB交半圆O于点E，EF⊥BC于点F，连接EC．则图中与△CEF相似的三角形共有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

图中与△CEF相似的三角形共有4个，分别为△ACE∽△CEF；△CBE∽△CEF；△ABC∽△CEF；△EBF∽△CEF，
理由为：∵CA为圆的切线，
∴CA⊥BC，又EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠CEF=∠ACE，
又BC为圆的直径，
∴∠BEC=∠CEA=90°，
∴∠EFC=∠CEA=90°，
∴△ACE∽△CEF；


∵∠BEF+∠FEC=90°，∠BEF+∠EBC=90°，
∴∠FEC=∠EBC，
∵∠EFC=∠BFE=90°，
∴△EBF∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠ECF=∠BCE，
∴△CBE∽△CEF；
∵∠FEC=∠EBC，∠EFC=∠BCA=90°，
∴△ABC∽△CEF．
故选D