如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径．（1）求∠FCB的度数；（2）求证：AH=CF．

题型：北京期中题难度：来源：

如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径．
（1）求∠FCB的度数；
（2）求证：AH=

CF．

答案

解：（1）连接BF，则∠F=∠BAC=60°，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FBC=90°，
∴∠FCB=90°﹣∠F=30°；
（2）证明：连接AF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠FAC=90°，
∴FA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴FA∥BE，
∵∠FBC=90°，
∴FB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴FB∥AD，
∴四边形FBHD是平行四边形，
∴AH=FB，
在Rt△FBC中，∠FCB=30°，
∴FB=

FC，
即AH=

FC．

举一反三

学习与探究：
（1）请在图1的正方形ABCD中，作出使∠APB=90°的所有点P，并简要说明做法．我们可以这样解决问题：利用直径所对的圆周角等于90°，作以AB为直径的圆，则正方形ABCD内部的半圆上所有点（A、B除外）为所求．
（2）请在图2的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹；
（3）如图3，已知矩形ABCD中，AB=4，AC=3，请在矩形内（含边），画出∠APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹．