如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD。（1）求证：△ACH

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD。
（1）求证：△ACH∽△AFC；
（2）猜想：AH·AF与AE·AB的数量关系，并证明你的猜想；
（3）探究：当点E位于何处时，S_△AEC：S_△BOD=1：4？并加以说明。

答案

解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴
∴∠F=∠ACH，
又∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；（2）AH·AF=AE·AB，
连接FB，
∵AB是直径，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
又∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴
∴AH·AF=AE·AB； （3）当（或）时，S_△AEC∶S_△BOD=1∶4，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=ED，
∵，
∴
∵⊙O的半径为2，
∴
∴。